قانون 72 | مجله آورا

در زندگی روزمره، گاهی شاهد پدیده هایی هستیم که بر مبنای مفهوم رشد و تصاعد استوار اند. از رشد جمعیت گرفته تا افزایش سرمایه و شاخص های اقتصادی. در تحلیل بسیاری از این پدیده ها، با سوال هایی مانند “چند سال طول می کشد تا جمعیت یک شهر دوبرابر شود؟” یا “مدت زمان رشد دوبرابری سرمایه در این فعالیت اقتصادی چقدر است؟” مواجه می شویم. قانون ۷۲، روشی سریع برای پاسخ گویی به این قبیل سوالات است.

این قانون با نام های قانون ۷۲، قانون ۷۰ و همچنین قانون ۶۹.۳ نیز شناخته شده است، و به دلیل پاسخ تقریبی آن، صرفا جهت بررسی های اولیه و به صورت ذهنی محاسبه می شود. در این مقاله ابتدا به توضیح و تشریح نحوه استفاده از این قانون میپردازیم و سپس آنرا به کمک محاسبات ریاضی ثابت میکنیم.

استفاده از قانون ۷۲

بر اساس قانون ۷۲، برای بدست آوردن مدت زمان دوبرابر شدن سرمایه (یا جمعیت یا …) از فرمول زیر استفاده میکنیم:

$T = \frac{72}{R}$

که در آن، T مدت زمان دوبرابر شدن سرمایه بر حسب واحد زمان، و R نرخ رشد یا نرخ سود سرمایه در هر واحد زمان است.

جهت رفع ابهامات احتمالی، به ذکر چند مثال کمک می پردازیم.

مثال ۱: دوبرابر شدن سرمایه با سود سالانه ۶ درصد

فرض کنید سرمایه شما به طور سالانه ۶٪ رشد می کند. چند سال طول می کشد که سرمایه شما دوبرابر شود؟ برای پاسخ به این سوال باید طبق فرمول ذکر شده، عدد ۷۲ را بر ۶ تقسیم کنیم، که حاصل می شود ۱۲ سال.

مثال ۲: رشد دوبرابری جمعیت یک کشور با نرخ رشد پنج ساله ۸٪

در این مثال جمعیتی را بررسی می کنیم که هر پنج سال، ۸ درصد رشد می کند. برابر محاسبه مدت زمان دوبرابر شدن جمعیت، می بایست عدد ۷۲ را بر ۸ تقسیم کنیم که حاصل عدد ۹ خواهد بود. اما آیا پاسخ این مسئله ۹ سال است؟ در اینجا باید توجه کنیم که واحد زمانی داده شده در مثال پنج سال است. لذا مدت زمان لازم برای رشد دوبرابری جمعیت، ۹ واحد پنج ساله، یعنی ۴۵ سال است.

تا اینجا نحوه استفاده از قانون ۷۲ بیان شد. چنانچه مشتاق رمز گشایی این قانون و درک راز عدد ۷۲ هستید، شما را به مطالعه بخش بعدی دعوت می کنیم.

اثبات ریاضی قانون ۷۲

برای بدست آوردن قانون ۷۲، ابتدا نگاهی به معادله پایه رشد می اندازیم:

$F = P \times (1+\frac{R}{100})^T$

در این معادله، P سرمایه اولیه، R نرخ رشد سرمایه به درصد، T مدت زمانی و F سرمایه نهایی پس از گذشت زمان T است.

از آنجا که هدف ما یافتن مدت زمان رشد دو برابری سرمایه است می توانیم F را به صورت ۲P بنویسیم. در این صورت خواهیم داشت:

$2P = P \times (1+\frac{R}{100})^T$

$2 = (1+\frac{R}{100})^T$

اکنون میتوانیم با استفاده از نماد گذاری لگاریتم، مقدار T را بیابیم:

$T = log_{(1+\frac{R}{100})} (2)$

حالا با استفاده معکوس از روش تغییر پایه در توابع لگاریتمی، از تابع کمکی لگاریتم طبیعی جهت تغییر پایه استفاده میکنیم:

$T = \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{R}{100})}$

و از آنجایی که قاعده زیر برای محاسبه تقریبی لگاریتم طبیعی برقرار است، داریم:

$ln(1+x) \approx x$

$T = \frac{ln(2)}{\frac{R}{100}}$

$T = \frac{0.693}{\frac{R}{100}} = \frac{69.3}{R}$

درواقع عدد ۶۹.۳، صد ضرب در لگاریتم طبیعی دو است.

اما رابطه پایانی ما با صورت قانون ۷۲ متفاوت است؛ چرا که بجای عدد ۷۲، ما عدد ۶۹.۳ را بدست آوردیم. در واقع همان طور که از محاسبات نتیجه میشود، عدد صحیح عدد ۶۹.۳ است. با این حال این عدد برای استفاده در محاسبات سریع ذهنی عدد مناسبی نیست. لذا جهت آسان تر کردن محاسبات، یکی از اعداد نزدیک به ۶۹.۳ را انتخاب می کنیم. در این انتخاب بهتر است توجه کنیم که عدد انتخابی ما مقسوم علیه (شمارنده) های زیادی داشته باشد؛ در این صورت، عدد انتخابی ما بر اعداد بیشتری بخش پذیر خواهد بود و تقسیم آن بر این اعداد، حتی به صورت ذهنی، به آسانی انجام خواهد شد. با توجه به این معیار ها، عدد ۷۲ مناسب ترین عدد بنظر می رسد. مقسوم علیه های این عدد عبارت اند از:

۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۸, ۹, ۱۲, ۱۸, ۲۴, ۳۶, ۷۲

کلام آخر

در این مقاله سعی بر این شد تا ضمن ارائه و تشریح قانون ۷۲، که در زمینه های مختلف آماری و اقتصادی به کار می رود، به رمز گشایی و اثبات آن بپردازیم.

در صورت تمایل می توانید نظرات، ایده ها و پرسش های خود را در بخش دیدگاه ها با ما در میان بگذارید🙂

مجله آورا

قانون ۷۲

استفاده از قانون ۷۲

مثال ۱: دوبرابر شدن سرمایه با سود سالانه ۶ درصد

مثال ۲: رشد دوبرابری جمعیت یک کشور با نرخ رشد پنج ساله ۸٪

اثبات ریاضی قانون ۷۲

کلام آخر

دیدگاه‌ها

یک پاسخ به “قانون ۷۲”

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ