سلسله جلسات جهت

عنوان جلسه:
«فراعمل‌گرها»

زمان: پنجشنبه ساعت ۱۰ صبح
مکان: مرکز نوآوری شروع (خیابان آزادی، جنب دانشگاه صنعتی شریف، خیابان صادقیه، کوچه چهارم)
http://vc.sharif.edu/zharfa

شرح:
کُنج:
فراعمل‌گرها – قسمت اول (بخش اول)

ضرب اعداد طبیعی را چگونه تعریف می‌کنید؟
احتمالاً راه‌های گوناگونی وجود دارد، اما شاید یکی از طبیعی‌ترین آن‌ها تکرار جمع باشد. مثلاً ۳ ضرب در ۲ یعنی ۲ بار عدد ۳ را با خودش جمع کنیم. این همان ایده‌ای است که معمولاً در تعریف توان به کار می‌بریم. عدد ۳ به توان ۲ یعنی ۲ بار ۳ را در خودش ضرب کنیم. بیایید این ایده را اندکی بیشتر بررسی کنیم و تعمیم بدهیم.

دنباله‌ای از عمل‌گر‌ها در نظر بگیرید که هر یک با تکرار قبلی بدست آید. مثلاً اگر اولین عمل‌گر ما جمع باشد، با تکرار عمل جمع، به عمل ضرب خواهیم رسید. با تکرار کردن ضرب، سومین عمل‌گر دنباله یعنی توان شکل می‌گیرد. عمل‌گر بعدی از تکرار توان حاصل خواهد شد. این عمل‌گر را تتراسیون می‌نامیم. (مثلاً ۳ تتراسیون ۲ می‌شود همان ۳ به توان ۲۷) با تکرار تتراسیون، عمل‌گر پنچم و همین‌طور عمل‌گرهای بعد تعریف خواهند شد.

پیش از ادامه، باید دو نکته را توجه کنیم.
اول این‌که منظورمان از تکرار عمل‌گر چیست؟
ما کار را با عمل جمع شروع کردیم. جمع عمل‌گری دوتایی (باینری) است، پس باید بگوییم در هر تکرار آن دو چیزی که با هم جمع می‌شوند چه هستند. همان‌طور که از مثال ضرب پیداست، منظورمان از تکرار آن است که از یک عدد مشخص شروع کنیم و در هر مرحله آخرین عدد را با عدد ابتدایی جمع کنیم. مثلاً تکرار جمع روی عدد ۳، یعنی با ۳ شروع کنیم، سپس ۳ را با ۳ جمع کنیم تا به ۶ برسیم؛ بعد عدد ۶ را نیز با ۳ جمع کنیم تا به ۹ برسیم، و همین‌طور تا آخر. پس در تکرار اول جمع روی ۳، عدد ۳ حاصل شد (۳×۱=۳)، از تکرار دوم عدد ۶ بدست آمد (۳×۲=۶)، و از تکرار سوم عدد ۹. به بیان دقیق‌تر، اگر جمع را با نگاشت دو متغیره F(x,y) نشان دهیم و تکرار n ام جمع روی x را با F_n(x)، آنگاه داریم:
F_1(x) := x
F_n(x) := F(F_{n-1}(x), x)

دومین نکته شایان توجه این است که آیا می‌توان جمع را نیز حاصل تکرار عمل‌گر دیگری دانست؟
پاسخ این سوال مثبت است. در واقع اگر پیش‌تر راجع به دستگاه پئانو چیزی شنیده باشید، ایده متفاوتی نخواهد بود.
عمل جمع را می‌توان نتیجه تکرار عمل‌گر تالی در نظر گرفت. تالی عمل‌گری تکی (یونری) است که یک عدد به عنوان ورودی می‌گیرد و عدد بعد از آن (یعنی همان عدد به علاوه یک) را خروجی می‌دهد. به عبارت دیگر:
S(x) = x + 1
به راحتی می‌توان دید که با تعریف مشابهی از تکرار، عمل‌گر جمع حاصل تکرار عمل‌گر تالی است. پس می‌توانیم اولین عضو در دنباله‌ای که بالا در نظر گرفتیم را عمل‌گر تالی بدانیم. (آیا تالی هم به صورت تکرار عمل‌گر دیگری قابل بیان است؟)

این دنباله از عمل‌گرها را دنباله فراعمل‌گری (Hyperoperation) گویند. عمل‌گر تالی فراعمل‌گر درجه صفر (hyper-0)، عمل‌گر جمع فراعمل‌گر درجه یک، و به همین ترتیب عمل‌گر تتراسیون فراعمل‌گر درجه ۴ است. (یک نام‌گذاری دیگر برای فراعمل‌گر درجه n به این شکل است که معادل یونانی عدد n را با پسوند ation (-سیون) ترکیب کنیم. نام تتراسیون از این طریق بدست آمده)

فراعمل‌گرها – قسمت اول (بخش دوم)

قبل از آنکه وارد جزئیات فراعمل‌گرها بشویم، می‌خواهم یک مسیر نسبتاً غیرطبیعی را امتحان کنم.
بیایید همین دنباله را برعکس بسازیم؛ مثلاً فرض کنیم که عمل‌گر توان را داریم و می‌خواهیم به وسیله آن ضرب و جمع را تعریف کنیم.

ایده‌های مختلفی برای این‌کار می‌توان اجرا کرد.
فرض کنید تابع G(x,y) را در اختیار داریم که x را به توان y می‌رساند. با وارون‌گیری از این تابع می‌توانیم چیزی شبیه به تابع لگاریتم بدست بیاوریم. این وارون را با L_x(z) نشان می‌دهیم به گونه‌ای که:
L_x(G(x,y)) = y

بنابراین ضرب دو عدد a و b را می‌توانیم به صورت زیر تعریف کنیم (به ازای یک x مشخص):
a * b := L_x(G(G(x, a), b))

چرا که آن‌چه ما از ضرب انتظار داریم خاصیت زیر را دارد:
G(G(x, a), b) = G(x, a * b)

به روش مشابهی می‌توان جمع دو عدد را نیز بر اساس توان و ضرب تعریف کرد:
a + b := L_x(G(x, a) * G(x, b))

فارغ از این‌که این کار از نظر محاسباتی چه فایده‌ای دارد، نگرشی تازه‌ای که می‌توانیم از آن بگیریم جالب توجه است.
در وهله اول، احتملاً دور از انتظار نیست که قادر باشیم توان را نیز توسط تتراسیون تعریف کنیم. (می‌توانید این‌کار را انجام دهید؟) آیا این روند برای عمل‌گرهای بعدی دنباله نیز صادق است؟

مسئله جالب دیگری که پیش می‌آید آن است که آیا می‌توان برای دنباله فراعمل‌گرها حدی از جنس عمل‌گر متصور بود که (با معنی مناسبی از همگرایی)‌ به آن همگرا شود؟ چرا که اگر بتوان هر یک از عمل‌گرهای دنباله را توسط عمل‌گرهای بعدی تعریف کرد، شاید بتوان تمام عمل‌گرها را بر حسب این عمل‌گر حدی نوشت.
و در نهایت، آیا به واقع اصالت با عمل‌گرهای درجات پایین (تالی، جمع، ضرب و…) است یا عمل‌گرهای درجات بالا؟ اصلاً رفتار این عمل‌گرهای با درجه بالا چگونه است و چه کاربردهایی می‌توانند داشته باشند؟

آنچه گفته شد، تنها یک معرفی از فراعمل‌گرها بود. بحث در این باره بسیار است، اما به همین مقدار اکتفاء و بخشی از آن را به جلسه‌ای که ان شاء الله روز پنج‌شنبه در گوشه‌ای از شهر عجیب تهران برگزار خواهد شد موکول می‌کنم.

اگر درباره فراعمل‌گرها پاسخی به هر یک از سه پرسش زیر داشتید، بسیار مشتاق شنیدنش هستم:

۱. چگونه می‌توان برای دنباله فراعمل‌گری حدی تعریف کرد؟

۲. چگونه رفتار فراعمل‌گرهای از درجات بالا را توصیف کنیم (یا به تصویر بکشیم)؟

۳. آیا می‌توان به جای عمل‌گر تالی، یک عمل‌گر دوتایی (غیر بدیهی) به عنوان عضو اول دنباله انتخاب کرد؟
https://t.me/NonDifferentiable