همگرایی نظریه نوع وابسته و نظریه مدل هندسی

شرح دقیق مسئله

این پژوهش به بررسی همگرایی بین نظریه نوع وابسته (dependent type theory) و نظریه مدل هندسی می‌پردازد، با هدف ایجاد چارچوبی که: (1) روابط دقیق بین ساختارهای هندسی (مانند تاپوس‌ها و شیف‌ها) و سیستم‌های نوع وابسته را مشخص کند؛ (2) اصول موضوعه جایگزین برای نظریه مجموعه‌ها بر اساس این همگرایی ارائه دهد؛ (3) روش‌های اثبات خودکار مبتنی بر این همگرایی را توسعه دهد؛ و (4) کاربردهای این چارچوب در مسائل تصمیم‌پذیری و استنتاج خودکار را بررسی نماید. اهمیت و کاربرد این همگرایی می‌تواند به درک عمیق‌تر از رابطه بین منطق، هندسه و محاسبه منجر شود و چارچوبی یکپارچه برای مطالعه ساختارهای ریاضی ارائه دهد که هم از منظر نظری و هم از منظر محاسباتی قوی باشد. نتایج این پژوهش می‌تواند در توسعه سیستم‌های اثبات صوری، زبان‌های برنامه‌نویسی با قابلیت اثبات، و مفهوم‌سازی جدید از ریاضیات محاسباتی کاربرد داشته باشد. همچنین، این همگرایی می‌تواند به حل برخی از مسائل باز در نظریه مدل هندسی و نظریه نوع کمک کند. منابع مرجع 1. Awodey, S., & Warren, M. A. (2009). “Homotopy theoretic models of identity types.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 146(1), 45-55. 2. Makkai, M. (1995). “First Order Logic with Dependent Sorts, with Applications to Category Theory.” CIEM, Barcelona. 3. Caramello, O. (2018). “Theories, Sites, Toposes: Relating and Studying Mathematical Theories Through Topos-Theoretic ‘Bridges’.” Oxford University Press. 4. Voevodsky, V., Ahrens, B., Grayson, D., & others. (2014). “UniMath: Univalent Mathematics.” https://github.com/UniMath/UniMath