نظریه رسته‌های بی‌نهایت و کاربردهای آن در توپولوژی جبری

شرح دقیق مسئله

این پژوهش به بررسی و توسعه نظریه رسته‌های بی‌نهایت (∞-categories) و کاربردهای نوین آن در توپولوژی جبری می‌پردازد. هدف اصلی، ایجاد چارچوبی یکپارچه برای: (1) توصیف دقیق هوموتوپی‌های عالی در فضاهای توپولوژیک پیچیده؛ (2) گسترش مفهوم‌سازی کوهومولوژی و همولوژی از طریق رویکرد رده‌ای؛ (3) بررسی فرمالیسم «جدید» برای هندسه دیفرانسیل با استفاده از تاپوس‌های ∞؛ و (4) استخراج روابط جدید بین جبر، توپولوژی، و هندسه در چارچوب رده‌های بی‌نهایت است. اهمیت و کاربرد نظریه رده‌های بی‌نهایت یکی از انقلابی‌ترین پیشرفت‌های ریاضیات معاصر است که شکاف بین نظریه هوموتوپی سنتی و نظریه رده‌ها را پر می‌کند. این چارچوب، روشی طبیعی برای مدل‌سازی «هوموتوپی‌های بین هوموتوپی‌ها» ارائه می‌دهد و می‌تواند به حل مسائل بازی مانند مسئله “کبود” و توصیف دقیق‌تر هومولوژی چرخه‌ای کمک کند. همچنین، به عنوان زبان ریاضی برای توصیف نظریه‌های میدان کوانتومی توپولوژیک و گرانش کوانتومی کاربردی قابل توجه دارد.